Bài toán số 2 năm 1977 của tác giả Phan Đức Chính
"In a finite sequence of real numbers, the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence".
Bản dịch:
Cho một dãy hữu hạn các số thực, tổng của 7 số hạng liên tiếp luôn là số âm và tổng của 11 số hạng liên tiếp bất kỳ luôn là số dương. Xác định số lượng số hãng tối đa của dãy số để thỏa mãn điều kiện đã cho.
Bài Toán của PGS Phan Đức Chính trong đề thi IMO năm 1977, được Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán trình bày lại trong một hội thảo mới đây.
* PGS.TS Phan Đức Chính là một trong những giáo viên đầu tiên của lớp chuyên Toán A0, trường Đại học Tổng hợp (nay là lớp chuyên Toán, trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội). Ông đã tham gia đào tạo nhiều học sinh giỏi được huy chương Toán quốc tế, từng là phó đoàn, trưởng đoàn Việt Nam tham dự IMO. Ông cũng viết, dịch nhiều giáo trình Toán học kinh điển ở Việt Nam.
Bài Toán của tác giả Văn Như Cương - đề IMO năm 1982
Bài toán được chọn làm câu số 6 trong đề thi Olympic Toán quốc tế năm 1982 của tác giả Văn Như Cương như sau:
“Let S be a square with side length 100. Let L be a path within S which is composed of line segments A0A1, A1A2, A2A3..., A(n-1)An with A0 ≠ An. Suppose that for every point P on the boundary of S there is a point of L at a distance from P no greater than 1/2. Prove that there are two points X and Y of L such that the distance between X and Y is not greater than 1 and the length of the part of L which lies between X and Y is not smaller than 198”.
Dịch:
Cho S là hình vuông với cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2..., A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2.
Chứng minh rằng: Tồn tại 2 điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.
Bài toán của cố PGS Văn Như Cương trong đề thi IMO năm 1982.
Bài Toán của cố PGS Văn Như Cương năm 1982 được đánh giá không chỉ rất khó mà còn độc đáo. Theo GS Trần Văn Nhung, nguyên Thứ trưởng Bộ GD-ĐT, nhiều nước muốn loại bài này ra khỏi đề thi nhưng chủ tịch IMO năm đó đã quyết định giữ lại và khen “rất hay”.
Tuy nhiên, bài Toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện. Các dữ liệu đậm tính văn thơ với "ngôi làng", "dòng sông" trong đề gốc cũng được chuyển thể thành ngôn ngữ đậm chất Toán học hơn.
Tại hội thảo kỷ niệm 50 năm Việt Nam tham dự kỳ thi Olympic Toán học quốc tế (1974 - 2024) mới đây, GS Ngô Bảo Châu cũng đánh giá bài Toán của thầy Văn Như Cương là một trong những bài hay và thú vị nhất lịch sử IMO.
Bài toán số 4 năm 1987 của tác giả Nguyễn Minh Đức
"Prove that there is no function f from the set of non-negative integers into itself such that f(f(n)) = n + 1987 for every n".
Bản dịch:
Chứng minh rằng không tồn tại hàm f xác định trên tập số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện f(f(n)) = n + 1987 với mọi n.
Bài toán của TS Nguyễn Minh Đức trong đề thi IMO năm 1987.
* TS Nguyễn Minh Đức là cựu học sinh trường THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, giành huy chương Bạc tại IMO năm 1975, là năm thứ hai Việt Nam tham gia sân chơi này.
Theo TS Trần Nam Dũng, Phó hiệu trưởng trường Phổ thông Năng khiếu (Đại học Quốc gia TP.HCM), cựu thí sinh IMO năm 1983, ban tổ chức không bắt buộc các đơn vị tham dự gửi đề, cũng không giới hạn số lượng bài nếu tham gia.
Về quy trình, khoảng bốn tháng trước kỳ thi, trưởng đoàn của mỗi nước sẽ tập hợp các bài toán đề nghị, tác giả không nhất thiết là người trong đoàn mà chỉ cần là người của nước mình, rồi gửi ban chọn đề của nước đăng cai.
Ông Dũng cho biết thông thường, mỗi năm có hơn 100 bài toán được gửi đề nghị. Nước đăng cai kỳ thi sẽ chọn khoảng 30, đưa vào danh sách rút gọn. Trước khi kỳ thi diễn ra vài ngày, các trưởng đoàn bỏ phiếu để chọn ra 6 bài chính thức cho đề năm đó.
