Số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố (còn gọi là hợp số), là tập hợp số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Có thể hiểu một cách đơn giản, với một số tự nhiên lớn hơn 1, nếu ngoài chữ số 1 và bản thân chính số đó thì nó không chia hết cho số nào khác nữa.
Ví dụ về số nguyên tố
- Ví dụ các số: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29,…đều được gọi là số nguyên tố. Đặc biệt, có 2 trường hợp không được xét là nguyên tố đó chính là số 0 và số 1.
- Số 4 không phải là số nguyên tố bởi ngoài việc chia hết cho 1 và 4, nó còn chia hết cho 2 nữa.
Một số lưu ý về số nguyên tố:
- Số nguyên tố nhỏ nhất và có duy nhất 1 chữ số là số 2.
- Số 11 là số nguyên tố có hai chữ số nhỏ nhất.
- Số nguyên tố nhỏ nhất và có 3 chữ số là số 101.
- Số 997 là số nguyên tố có 3 chữ số lớn nhất.
Các tính chất đặc trưng của số nguyên tố
Dựa vào một số tính chất cơ bản của số nguyên tố hợp số như sau sẽ giúp học sinh dễ dàng tính toán hơn:
– Số nguyên tố nhỏ nhất vừa là số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2
– Không thể giới hạn số lượng số nguyên tố cũng như tập hợp các số nguyên tố. Nói cách khác, số nguyên tố là vô hạn.
– Khi hai số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không thể là một số chính phương.
– Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
– Ước bé nhất là một số dương khác 1 của một tập hợp số b bất kỳ là một số nguyên tố nếu không vượt quá căn bậc hai của b.
Các cách tìm ra số nguyên tố cực đơn giản
Ý tưởng kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không như sau: Nếu nhỏ hơn 2 thì chắc chắn số đó không phải là số nguyên tố. Nếu đếm số ước của số n trong đoạn từ 2 cho đến căn bậc hai của n mà không có ước nào thì n được coi là số nguyên tố. Ngược lại, nếu có thì nó chắc chắn không phải là số nguyên tố.
Cách tìm số nguyên tố đơn giản
Hay còn gọi là phương pháp chia thử nghiệm. Với phương pháp này, bạn chỉ cần dựa trên lý thuyết số nguyên tố để chia số cần kiểm tra là được. Tuy nhiên, phương pháp này không được đánh giá cao do tiêu tốn khá nhiều thời gian và nó có thể dẫn đến nhiều sai sót khi thực hiện.
Tìm số nguyên tố dựa theo thao tác lặp từng phần tử với bước nhảy 1
Để kiểm tra N có phải là số nguyên tố không theo phương pháp này, bạn thực hiện như sau:
- Bước 1: Nhập số N.
- Bước 2: Kiểm tra nếu N < 2 thì N không phải là một số nguyên tố. Nếu N lớn 2 thì chuyển đến bước 3.
- Bước 3: Lặp trong khoảng từ 2 cho đến ( N – 1). Nếu trong khoảng này mà tồn tại số mà N chia hết chia hết cho số đó thì kết luận: N không phải là số nguyên tố. Nếu kết quả ngược lại thì N là một số nguyên tố.
Để hiểu rõ hơn về phương pháp, mình lấy ví dụ như sau: Kiểm tra xem 8 có phải là số nguyên tố không?
Ta có: 8 > 2 và trong khoảng từ 2 cho đến 7, nhận thấy 8 có chia hết cho 4.
Vì vậy, 8 chắc chắn không là số nguyên tố.
Tìm số nguyên tố theo thao tác lặp từng phần với bước nhảy 2
Theo thông tin chia sẻ trên thì có duy nhất một số nguyên tố chẵn là số 2. Vì vậy, ta có thể dễ dàng loại bỏ số 2 ra khỏi vòng lặp và chỉ cần kiểm tra các số lẻ là được. Phương pháp tìm này được đánh giá khá cao.
Bảng số nguyên tố nhỏ hơn 100 trong toán học
Một số khái niệm liên quan đến số nguyên tố
Thừa số nguyên tố là gì?
Thừa số nguyên tố là thừa số, nhưng lại là các số nguyên tố, số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, là tích của 2 thừa số là số 1 và chính nó.
Phân tích ra thừa số nguyên tố là gì?
Khi phân tích một số tự nhiên (lớn hơn 1) ra thừa số nguyên tố có nghĩa là viết số đó dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố.
Số nguyên tố cùng nhau là gì?
Hai số a và b được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước số chung lớn nhất là 1.
Ví dụ các cặp (2, 3), (3, 7), (3, 5), (13, 27) … là các cặp số nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1.
Ngược lại, cặp số (6, 27) là không phải là cặp số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của chúng không phải 1, mà là 3.
Số siêu nguyên tố là gì?
Số siêu nguyên tố là số nguyên tố mà khi ta bỏ một số tùy ý các chữ số bên phải của chúng thì phần còn lại vẫn là một số nguyên tố.
Ví dụ số siêu nguyên tố 7331: Nếu ta bỏ lần lượt các số 1, 3, 3, thì các phần còn lại là 733, 73 và 7 vẫn là số nguyên tố.
Cách phân tích thừa số nguyên tố trên máy tính
Cách phân tích thừa số nguyên tố trên máy tính Casio FX 570VN Plus, 580VNX
Trong chế độ COMP của máy tính Casio FX 570 VN Plus và máy tính Casio FX 580 VNX, một số nguyên dương (không dài hơn 10 chữ số) có thể được phân tích thành các thừa số nguyên tố. Cụ thể cách phân tích thừa số nguyên tố trên máy tính Casio FX 570VN Plus, 580VNX như sau:
Bước 1: Nhập số cần phân tích. Trong ví dụ này, giả sử chúng ta cần phân tích số 1024.
Bước 2: Nhấn dấu bằng (=). Màn hình lúc này sẽ hiển thị kết quả là 1024.
Bước 3: Nhấn phím Shift và phím ο’” để chuyển sang thừa số nguyên tố. Lúc này, trên màn hình sẽ hiển thị kết quả 2 x 3 x 132.
Khi phân tích thừa số nguyên tố Casio các dòng máy FX 570VN Plus, 580VNX, bạn cần có một số lưu ý như sau:
- Khi thực hiện phân tích thừa số nguyên tố của một giá trị gồm một thừa số là số nguyên tố có nhiều hơn ba chữ số và phần không thể được phân tích (được đóng ngoặc trên màn hình hiển thị).
- Không thể phân tích một trong các thừa số nguyên tố có giá trị từ 1.018.081 trở lên hoặc hay hay nhiều thừa số trong các thừa số nguyên tố của giá trị có từ 4 chữ số trở lên, cho dù chúng có từ 10 chữ số trở xuống. Phần không thể phân tích sẽ được đính kèm dấu ngoặc đơn trên màn hình.
- Không thể phân tích thừa số nguyên tố với một số thập phân, phân số hoặc kết quả tính toán ra giá trị âm. Nếu vẫn cố thử, bạn có thể sẽ nhận được thông báo lỗi toán học từ máy tính.
- Không thể thực hiện việc phân tích thừa số nguyên tố khi kết quả của một phép tính có sử dụng Pol, Rec, ÷R đang được hiển thị.
Cách phân tích thừa số nguyên tố trên máy tính Casio FX 880 BTG
Cách phân tích thừa số nguyên tố trên máy tính Casio FX 880 BTG có đôi chút khác so với hai dòng máy trên. Cụ thể các bước làm như sau:
Bước 1: Nhập số cần phân tích, giả sử là 1014.
Bước 2: Nhấn EXE.
Bước 3: Nhấn Format - [Prime Factor]. Lúc này, màn hình sẽ hiển thị kết quả 2 x 3 x 132.
Tương tự, máy tính Casio FX 880 BTG cũng không thể phân tích một thừa số trong các thừa số nguyên tố có giá trị từ 1.018.081 trở lên hoặc hai hay nhiều thừa số trong các thừa số nguyên tố của giá trị có nhiều hơn ba chữ số, cho dù chúng có từ 10 chữ số trở xuống. Phần không thể phân tích sẽ được đính kèm dấu ngoặc đơn trên màn hình.
Một số bài tập về số nguyên tố từ cơ bản đến nâng cao
Bài 1: Cho các số sau: 77; 79; 121; 61. Hãy chỉ ra đâu là số nguyên tố, đâu là hợp số. Vì sao?
Đáp án:
Các số nguyên tố là :79 và 61. vì 79 chỉ có 2 ước là 1 và 79 và 61 chỉ có 2 ước là 1 và 61.
Các hợp số là: 77 và 121. Vì 77 ⋮ 7 và 121 ⋮ 11 nên 77 và 121 có nhiều hơn 2 ước là 1 và chính nó.
Bài 2: Hãy điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô trống:
0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số | |
Cho a > 1, a có nhiều hơn 2 ước thì a là hợp số | |
2 là số nguyên tố chẵn duy nhất | |
Mọi số nguyên tố đều là số lẻ |
Đáp án:
0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số | Đ |
Cho a > 1, a có nhiều hơn 2 ước thì a là hợp số | S |
2 là số nguyên tố chẵn duy nhất | Đ |
Mọi số nguyên tố đều là số lẻ | S |
Bài 3: Trong các tập hợp dưới đây, tập hợp nào chỉ gồm các số nguyên tố.
A = {3; 5; 7; 11}
B = {3; 7; 10; 19}
C = {1; 5; 17; 23}
D = {2; 3; 20; 17}
Đáp án:
Ta có: 10 và 20 đều có nhiều hơn 2 ước nên là hợp số. Do đó các tập hợp B = {3; 7; 10; 19} và D = {1; 3; 20; 17} không là tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố.
Số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số nên tập hợp C = {1; 5; 17; 23} cũng không phải là tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố.
Tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố là A = {3; 5; 7; 11}
Bài 4: Nếu x là số nguyên tố bé nhất có 2 chữ số, y là số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số, thì tổng x + y bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Vì x là số nguyên tố bé nhất có 2 chữ số nên x = 11
y là số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số nên y = 997.
Suy ra, x + y = 11 + 997 = 1008
Bài 5: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Đáp án:
Số p có một trong 3 dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với k ∈ N*
Nếu p = 3k thì p = 3 ( Vì p là số nguyên tố)
Khi đó p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 2 là hợp số trái với đề ra.
Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số trái với đề ra.
Vậy p = 3 là giá trị duy nhất cần tìm.
Văn học và điện ảnh nói về số nguyên tố
Một điều khá thú vị, số nguyên tố không chỉ xuất hiện trong toán học mà còn xuất hiện trong văn học thông qua cuốn sách “ Nỗi cô đơn của các số nguyên tố” của nhà văn Paolo Giordano, xuất bản lần đầu vào năm 2008.
Qua nhân vật Alice và Mattia, cuốn sách khắc họa thế giới nội tâm của những người cô đơn. Bằng lối viết mới lạ khi kết hợp toán học và văn học, Nỗi cô đơn của các số nguyên tố đã giúp nhà văn gây ấn tượng mạnh với độc giả. Không chỉ vậy, tiểu thuyết còn mang về cho Paolo Giordano nhiều giải thưởng to lớn, đơn cử Premio Campiello 2008.
Không chỉ gây tiếng vang trên văn đàn, “Nỗi cô đơn của các số nguyên tố” còn mang đến cảm hứng cho nhiều đạo diễn, điển hình là Saverio Costanzo. Tác phẩm sau đó được chuyển thể thành phim The Solitude of Prime Numbers, chính thức công chiếu vào tháng 9/2010.
Bên cạnh chuyện tình của Alice và Mattia, bộ phim còn gây ấn tượng mạnh bởi khung cảnh thơ mộng nơi nước Ý. Với những thước phim đặc sắc, The Solitude of Prime Numbers đã được đề cử giải Sư tử vàng tại Liên hoan phim Venice lần thứ 67.
Những câu hỏi thường gặp về số nguyên tố
Câu 1. 9 có phải là số nguyên tố không?
Các em có thể tra bảng số nguyên tố để biết 9 có phải số nguyên tố hơn. Còn trong bài chia sẻ này sẽ giải đáp luôn nhé! 9 KHÔNG PHẢI là số nguyên tố.
25 số nguyên tố đầu tiên (tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn 100) là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (dãy số A000040 trong bảng OEIS).
Câu 2. 2 có phải là số nguyên tố không?
Nhìn ở bảng số nguyên tố, các em có thể biết, 2 là số nguyên tố nhé!
Câu 3. 15 có phải là số nguyên tố không?
Không, 15 không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó. 15 chia hết cho cả 3 và 5, nên không phải là số nguyên tố.
Vân Anh(T/h)
